Definición e interpretación de la derivada:
La derivada como idea central del cálculo diferencial, se considera una de las herramientas más poderosas de la matemática, por tal razón el manejo de este concepto permitió y permite al hombre resolver interrogantes de su entorno, para alcanzar su manejo comencemos a recordar los conceptos básicos para manipular adecuadamente la derivación
La derivada como idea central del cálculo diferencial, se considera una de las herramientas más poderosas de la matemática, por tal razón el manejo de este concepto permitió y permite al hombre resolver interrogantes de su entorno, para alcanzar su manejo comencemos a recordar los conceptos básicos para manipular adecuadamente la derivación
11 comentarios:
Derivada en un punto
Función derivada
Si bien las técnicas de derivación son fácilmente adquiridas por los alumnos no debe apresurarse a dar las reglas pues el tiempo que se invierta en la construcción del concepto será el cimiento donde cobrarán significado tanto su importancia como sus aplicaciones . Es común encontrar alumnos que saben derivar a modo de mecanismo exótico pero con escaso interés e importancia desconocida para ellos. Trabajar en la construcción del concepto en este nivel no significa necesariamente trabajar con el calculo de derivadas por definición sino, por ejemplo, trabajar apoyándose en argumentos geométricos o gráficos.
TEMAS DERIVADA.
Derivada en un punto
Función derivada
DERIVADAS APLICACIONES Y NOCION BÁSICA DEL CALCULO INTEGRAL
Problemas que condujeron al descubrimiento del cálculo diferencial
CARGA HORARIA
La materia Matemática Superior se encuentra en el 6° año de la escuela secundaria en
todas las orientaciones del Ciclo Superior. Su carga es de 144 horas totales, siendo su frecuencia de 4 horas semanales si su duración se implementa como anual.
OBJETIVOS DE ENSEÑANZA
• Promover el trabajo autónomo de los alumnos.
• Estimular a los alumnos a establecer hipótesis, comprobarlas y validarlas utilizando herramientas matemáticas pertinentes.
• Valorar y hacer valorar a los alumnos los aportes individuales y /o grupales a la construcción del conocimiento matemático logrado por la clase de matemática en su conjunto Promover el respeto por las opiniones ajenas y una actitud abierta al cambio que permita elegir las mejores soluciones a diferentes problemas matemáticos, estableciendo, cuando resulte necesario, puntos de encuentro con los desarrollos personales o logrados en pequeños grupos.
• Utilizar la información que brindan las evaluaciones realizadas para retroalimentar tanto las planificación particular como la institucional en matemática
• Alentar a los alumnos para que valoren sus producciones matemáticas y logren comunicarlas en pequeños grupos o en grupo total, para realizar consultas, defender posturas, construir hipótesis o tratar de explicar construcciones matemáticas personales o ajenas.
• Planificar las diferentes instancias en las que se desarrollará el trabajo matemático (individual, en parejas, en pequeños grupos, en grupo total u otras) que promuevan el trabajo personal y grupal
• Evaluar los aprendizajes de los alumnos estableciendo relaciones entre lo aprendido y lo enseñado en las clases de matemática
• Valorar y aprovechar los conocimientos matemáticos extraescolares que los alumnos hayan podido construir para formalizarlos en el marco de la matemática con el objeto de explicarlos, enriquecer su significado.
• Colaborar para que los alumnos utilicen libros de matemática como material de consulta, ampliación de lo trabajado en clase.
• Ayudar a los alumnos a tomar conciencia de que la construcción grupal de conocimientos matemáticos aporta aprendizajes valiosos.
• Escuchar, registrar y retomar los aportes de sus alumnos efectuados en forma individual y grupal durante la clase de matemática.
• Promover la relación por parte del alumno de los contenidos nuevos con los anteriores.
• Estimular la necesidad de mejorar la terminología y notación matemática en los diferentes contenidos.
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
• Construir conocimientos matemáticos significativos.
• Elaborar estrategias de trabajo matemático en el aula en un marco de responsabilidad, solidaridad y convivencia democrática.
• Establecer transferencias pertinentes de los conocimientos adquiridos a situaciones intra y/o extra-matemáticas.
• Trabajar de manera autónoma identificando posibles modelizaciones de situaciones que se presenten en diferentes campos.
• Valorar la Matemática como objeto de la cultura.
• Comprender la importancia de la formalización como herramienta de comunicación en el ámbito de la Matemática.
• Distinguir definiciones de explicaciones y ejemplos.
• Justificar estrategias.
• Comprobar lo razonable de sus resultados.
• Valorar su propia capacidad matemática.
Derivada.
Derivada en un punto
Función derivada
Si bien las técnicas de derivación son fácilmente adquiridas por los alumnos no debe apresurarse a dar las reglas pues el tiempo que se invierta en la construcción del concepto será el cimiento donde cobrarán significado tanto su importancia como sus aplicaciones . Es común encontrar alumnos que saben derivar a modo de mecanismo exótico pero con escaso interés e importancia desconocida para ellos. Trabajar en la construcción del concepto en este nivel no significa necesariamente trabajar con el calculo de derivadas por definición sino, por ejemplo, trabajar apoyándose en argumentos geométricos o gráficos.
Ejemplo
Se coloca una taza de agua tibia en la heladera. Graficar la temperatura del agua en función del
Tiempo. ¿La razón inicial de cambio de temperatura es mayor o menor que la razón de cambio
Después de una hora de haberla colocado?
Ejemplo
Se registraron las temperaturas ( en grados centígrados) cada hora, a partir de la medianoche hasta
Las 22 horas durante un día de septiembre en Bs. As.
X
________________________________________________________________________________
(h)
________________________________________________________________________________
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
________________________________________________________________________________
T
________________________________________________________________________________
(ºC)
________________________________________________________________________________
10 10 12 12 13 14 14 14 15 15 18 18 20 21 22 23 24 24 23
1) Encontrar la razón promedio de cambio de temperatura con respecto
Desde el mediodía hasta las 16 horas.
Desde el mediodía hasta las 14 horas.
Desde el mediodía hasta las 13 horas.
2) Estimar la razón de cambio de temperatura al mediodía.
Revisar valor de la tabla
Ejemplo
Este ejercicio está pensado para que los alumnos trabajen en grupo y junto con el docente y las
herramientas teóricas necesarias llegar después de varios análisis a los resultados generales .
En los siguientes gráficos están representadas f(x) y f ′(x)
-Decidir en cada caso sobre la validez de las siguientes afirmaciones:
-Donde la derivada es negativa la función es creciente
-Donde la derivada es cero la función alcanza un máximo.
-Donde la derivada es cero la recta tangente es horizontal
Integrales
Aunque la definición de integral definida requiere de un profundo trabajo matemático los alumnos podrán calcular integrales mediante el cálculo de la anti derivada. Será necesario luego vincularla con el cálculo de área de figuras planas.
Probabilidad y estadística
Distribución Normal
Distribución Binomial
Uso de calculadoras
Distribución Normal
Esta distribución es la más importante de las distribuciones continuas porque muchas variables aleatorias tienen una distribución normal y suele aparecer en todo tipo de análisis estadístico como alturas, peso, efectos de dosis de medicamentos o duración de una pieza mecánica entre otros. Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de
parámetros µ y σ y se denota X ~ N(µ, σ) si su función de densidad está dada por:
donde µ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación típica (σ 2 es la varianza).
Tiene una característica forma de campana, es continua es simétrica con respecto a la media y tiene dos puntos de inflexión situados a ambos lados de la media a una distancia σ de ella. Se llama distribución normal "estándar" a aquella en la que sus parámetros toman los valores µ = 0 y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la siguiente expresión:
Resolución de problemas y formalización.
Existe una importante cantidad de bibliografía sobre las características que debe tener una actividad para constituirse en un problema para los alumnos. Desde este diseño curricular enfatizaremos algunas cuestiones.
• Un problema promueve el desarrollo de estrategias que favorecen una educación más autónoma, comprometida y participativa.
• Ser un problema no es una característica inherente a una actividad. Lo que constituye a cualquier propuesta en un problema es el vínculo que se establece entre el alumno y la tarea propuesta.
• Un problema es una situación que se le presenta al alumno para moverlo a la acción. • Si el alumno reproduce un procedimiento enseñado anteriormente es un ejercicio o un problema de aplicación pero no es en ese sentido que decimos aprender a través de problemas. Frente a los problemas los alumnos ponen en juego diferentes tipos de saberes relacionados con los conceptos, los procedimientos y/o las actitudes.
La institucionalización de los conocimientos comienza con los alumnos en lalegitimación de sus procesos por parte del docente quien junto con ellos, generaliza, en marca en una teoría y descontextualiza el saber aprendido
Clima de la clase y tratamiento del error
Aprender matemática a partir de exposiciones teóricas para luego resolver ejercicios y problemas no es educar matemáticamente a un alumno. Para que el alumno tome un rol activo en primer lugar es necesario generar un clima de confianza en su propia capacidad y de respeto por la producción grupal.
En algunas oportunidades resultará conveniente planificar la tarea en el aula de modo tal que luego de la propuesta de trabajo haya una primera instancia de trabajo individual. En esta etapa cada alumno prepara un aporte para el posterior trabajo grupal. Dentro del grupo de trabajo cada integrante explicará su producción a los demás y entre todos construirán la forma de comunicarla con un registro adecuado para confrontar con las resoluciones de otros grupos. En ese momento es importante que el docente habilite la palabra de todos los integrantes.
Finalizada la puesta en común y la discusión de cada solución planteada, el docente establecerá el status matemático de las construcciones de los alumnos.
Los errores de los alumnos son indicadores del estado del saber y es el docente quien contribuirá para que avancen a partir de ellos. La superación de errores se logrará si los alumnos toman conciencia de ellos y se hacen cargo de su reparación en niveles crecientes de autonomía. Dar la respuesta correcta no es corregir un error, más aún debe estimularse al alumno para que elabore estrategias de control que le permitan decidir sobre la corrección de sus producciones.
Leer y escribir en Matemática
Comprender un texto supone dar significado a lo leído e incluirlo en el marco personal de significaciones previas, enriqueciéndolas. En matemática esta significación deberá ser correcta en términos de la ciencia y la cultura matemática. Palabras como “dependencia” o “semejanza” tienen en distintos contextos significados muy diferentes y en Matemática su definición es muy precisa. Es por este motivo que leer textos matemáticos es una actividad que debería estar presente en las clases.
Leer matemática significa entre otras actividades poder interpretar las cuestiones vinculadas al área que están presentes en textos de otras disciplinas, interpretando cómo se utilizan los modelos matemáticos para describir, analizar y predecir fenómenos de las ciencias naturales o sociales, procesos tecnológicos, o expresiones artísticas. Con este propósito será necesario proponer en las clases el análisis, comentario y discusión de textos propios de la ciencia así como textos de otras disciplinas donde el lenguaje matemático esté presente a través de gráficos, porcentajes o esquemas geométricos.
Las producciones matemáticas de sus propios compañeros constituyen un material muy rico sobre el cual los alumnos pueden iniciar la lectura de textos con el propósito de explicar, describir, argumentar, validar, dar precisión y complejizar la información. Para promover el desarrollo de la capacidad lectora de los alumnos es esperable que en las clases los alumnos se enfrenten a una diversidad de textos que incluyan expresiones verbales, simbólicas, gráficas y trabajar en análisis de cada tipo de expresión favoreciendo el pasaje a otras expresiones propias o más complejas.
En el proceso de construcción de sentido de un lenguaje científico una paradoja que se debe transitar, por un lado los objetos matemáticos deberían preceder a su representación pero es a partir de esta representación que el objeto se conceptualiza a través de sus representaciones semióticas. Estas son necesarias para una comunicación más precisa y son imprescindibles para la construcción futura del concepto
ASPECTOS DISCIPLINARES EN LA DEFINICIÓN DEL CONCEPTO DE DERIVADA
MÉTODOS PRIMARIOS DEL CÁLCULO
Estos métodos permiten destacar aquellos elementos que constituyen la esencia del cálculo infinitesimal, como la noción de variación y de límite. Dentro de las ideas constitutivas del cálculo podemos ubicar como una de las primeras aproximaciones a los problemas del infinito al surgimiento de magnitudes inconmensurables en la matemática griega especialmente haciendo hincapié en la escuela pitagórica. (Siglo V a.C) Los pitagóricos daban como un hecho que todas las magnitudes eran conmensurables, es decir, que siempre era posible encontrar otra que cupiera un numero entero de veces en cada una de ellas, esto ocurrió hasta mediados del siglo V cuando se percataron que había magnitudes que no satisfacen esta condición como lo es el hecho de la diagonal y el lado de un cuadrado, de la diagonal y el lado de un cubo o la diagonal y el lado de un pentágono. Gracias a estos descubrimientos o cuestionamientos, se vieron en la necesidad de aceptar y/o admitir que existen magnitudes inconmensurables.
Evaluación
La evaluación en Matemática Superior deberá entenderse como un proceso continuo que involucra todas las actividades que el docente propone a sus alumnos y que no está únicamente asociada a la calificación obtenida en evaluaciones escritas en las que se involucre solamente la memorización de enunciados o la aplicación mecánica de reglas. En una prueba escrita, el alumno resuelve problemas, por eso en el momento de la corrección el docente deberá considerar, además de la correcta utilización de las herramientas matemáticas que involucre, la resolución del problema en su totalidad. Es decir, que una vez realizada la operatoria necesaria, el alumno sea capaz de contextualizar los resultados obtenidos para construir respuestas coherentes a la situación planteada, así como explicar y dar razón de los procedimientos elegidos para el abordaje de la misma haciendo uso de lenguaje matemático en sus diferentes variantes (coloquial, gráfico, simbólico) y produciendo un registro que permita comunicar todo esto de manera eficaz. En estas condiciones, la evaluación es un proceso que brinda elementos a docentes y alumnos para conocer el estado de situación de la tarea que realizan juntos y como tal representa una oportunidad de diálogo entre ambos. Así, la devolución de las evaluaciones escritas, deberá realizarse previendo breves momentos de atención
Método geométrico: Supongamos que en el cuadrado, el lado y la diagonal son conmensurables (demostración por contradicción). Marquemos sobre el segmento el punto , de tal forma que y tracemos desde la perpendicular a hasta que cruce el lado . Sea el punto de corte y finalmente construyamos el cuadrilátero con el vértice opuesto a p.
Construcción preliminar cuadrados para demostrar la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado de un cuadrado.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:
MONOTONÍA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Y OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R`(x)=0 ,
-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:
f
f ´ + 200 -
se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0
Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local
b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.
c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros
Solución gráfica
LA DERIVADA
INTRODUCCIÓN
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
1. Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
2. Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería .
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :
A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
Aplicación física de la derivada
Consideremos la función espacio E= E(t).
La tasa de variación media de la función espacio en el intervalo [t0, t] es: vM(t)=, que es lo que en Física llaman la velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:
La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.
Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad en el instante t =5.
Solución
v(t)=E’(t)= 2t -6 en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4
3. Interpretación geométrica de la derivada
La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar
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