Limites
Matemáticas
Grado correspondiente al grado 11.
Objetivos de enseñanza
• Promover el trabajo autónomo de los alumnos.
• Estimular el establecimiento, comprobación y validación de hipótesis por parte de los estudiantes, mediante el uso de las herramientas matemáticas pertinentes.
• Promover el trabajo personal y grupal, valorando los aportes individuales y colectivos para la construcción de los nuevos contenidos matemáticos
• Fomentar el respeto por la diversidad de opiniones, así como una actitud abierta al cambio que permita elegir las mejores soluciones ante diferentes problemas matemáticos. • Alentar a los alumnos para que valoren sus producciones matemáticas; realicen consultas; defiendan posturas; construyan hipótesis explicando construcciones matemáticas personales o ajenas. • Evaluar los aprendizajes, vinculando los nuevos contenidos adquiridos con los anteriores. • Valorar los conocimientos matemáticos extraescolares de los alumnos y retomarlos para su formalización, explicación y enriquecimiento en el marco de la materia. • Propiciar la lectura de textos matemáticos como material de consulta y ampliación de lo trabajado en clase. • Escuchar, registrar y retomar los aportes de los alumnos durante las clases. • Promover la toma de conciencia de la distancia entre los contenidos nuevos y los saberes anteriores como muestra del crecimiento del saber matemático personal. • Estimular el ajuste de la terminología y notación matemática en los diferentes contenidos. • Incorporar, con distintos grados de complejidad, el uso de las Nuevas Tecnologías de la Información y la Conectividad (Tics) en la enseñanza de la matemática.
Teoremas de límites
Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.
Teorema
Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.
H) limx->af(x)=b
T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b
Teorema
Conservación del signo
Para valores de x suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite.
H) limx->af(x)=b > 0
T) Existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > 0
Teorema de la función comprendida
Si una función está comprendida entre otras dos que tienen igual límite cuando x tiende a a, entonces tiene el mismo límite.
H) limx->af(x) = limx->ag(x) = b
Existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) <= h(x) <= g(x)
T) limx->ah(x)=b
Teorema de la acotación
Si una función tiene límite finito cuando x tiende a a, entonces está acotada en un entorno reducido de a.
H) limx->af(x)=b
T) Existe δ > 0 y existen h y k reales / para todo x perteneciente al E*a,δ h < f(x) < k
7 comentarios:
Concepto de límite:
En el infinito En un punto Continuidad El concepto de límite es central en el estudio del cálculo matemático. Para abordar este concepto se sugiere recuperar las ideas previas o intuitivas de los alumnos y, a partir de allí, ir aproximándose al cálculo de límites. Será conveniente plantear situaciones que permitan a los alumnos caracterizar los casos de indeterminación y buscar estrategias para salvarlas.
Definición.
Límites al infinito
a. Decimos que el límite cuando x tiende a infinito de f(x) es igual a L si a medida que hacemos crecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Simbólicamente (Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es L).
b. Decimos que el límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es igual a M si a medida que hacemos decrecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a M. Simbólicamente (Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es M).
Teorema
Límite de la suma
Ejemplo:
limx->2 x2 = 4
limx->2 x = 2
limx->2 x2 + x = 6
Teorema
Límite del productoEjemplo
limx->2 x = 2
limx->2 ex = e2
limx->2 xex = 2e2
Teorema
Límite del cocienteEjemplo
ex 1
lim ----- = --
x->0 x + 2 2
Otros cocientes
Caso 1:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = 0+
T) limx->af(x)/g(x) = +inf (-inf si b < 0)
El límite 0+ indica que, en un entorno de a, f(x) se aproxima a 0 por la derecha, es decir, 0 < f(x) < ε.
Caso 2:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = 0-
T) limx->af(x)/g(x) = -inf (+inf si b < 0)
Caso 3:
H) limx->ag(x) = b > 0, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x)/g(x) = 0+ (0- si b < 0)
Caso 4:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->af(x) = -inf
T) limx->af(x)/g(x) = 0- (0+ si b < 0)
Límite exponencial
Caso 1:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c (c≠0)
T) limx->af(x)g(x) = bc
Caso 2:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = 0
T) limx->af(x)g(x) = 1
Caso 3:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x)g(x) = +inf
Caso 4:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x)g(x) = 0
Límite de un polinomio
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Ejemplo: limx->1 x2 + 2x - 1 = 2Límite del cociente de polinomios
A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0
Ejemplo:
2x2 + x + 1 4
lim ----------- = -- = 2
x->1 x2 + 2x - 1 2
Límites tipo
lim (1 + 1/x)x = e
x->inf
Teorema
Límite de la suma
Ejemplo:
limx->2 x2 = 4
limx->2 x = 2
limx->2 x2 + x = 6
Teorema
Límite del productoEjemplo
limx->2 x = 2
limx->2 ex = e2
limx->2 xex = 2e2
Teorema
Límite del cocienteEjemplo
ex 1
lim ----- = --
x->0 x + 2 2
Otros cocientes
Caso 1:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = 0+
T) limx->af(x)/g(x) = +inf (-inf si b < 0)
El límite 0+ indica que, en un entorno de a, f(x) se aproxima a 0 por la derecha, es decir, 0 < f(x) < ε.
Caso 2:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = 0-
T) limx->af(x)/g(x) = -inf (+inf si b < 0)
Caso 3:
H) limx->ag(x) = b > 0, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x)/g(x) = 0+ (0- si b < 0)
Caso 4:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->af(x) = -inf
T) limx->af(x)/g(x) = 0- (0+ si b < 0)
Límite exponencial
Caso 1:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c (c≠0)
T) limx->af(x)g(x) = bc
Caso 2:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = 0
T) limx->af(x)g(x) = 1
Caso 3:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x)g(x) = +inf
Caso 4:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x)g(x) = 0
Límite de un polinomio
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Ejemplo: limx->1 x2 + 2x - 1 = 2Límite del cociente de polinomios
A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0
Ejemplo:
2x2 + x + 1 4
lim ----------- = -- = 2
x->1 x2 + 2x - 1 2
Límites tipo
lim (1 + 1/x)x = e
x->inf
Teorema
Límite de la suma
Ejemplo:
limx->2 x2 = 4
limx->2 x = 2
limx->2 x2 + x = 6
Teorema
Límite del productoEjemplo
limx->2 x = 2
limx->2 ex = e2
limx->2 xex = 2e2
Teorema
Límite del cocienteEjemplo
ex 1
lim ----- = --
x->0 x + 2 2
Otros cocientes
Caso 1:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = 0+
T) limx->af(x)/g(x) = +inf (-inf si b < 0)
El límite 0+ indica que, en un entorno de a, f(x) se aproxima a 0 por la derecha, es decir, 0 < f(x) < ε.
Caso 2:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = 0-
T) limx->af(x)/g(x) = -inf (+inf si b < 0)
Caso 3:
H) limx->ag(x) = b > 0, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x)/g(x) = 0+ (0- si b < 0)
Caso 4:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->af(x) = -inf
T) limx->af(x)/g(x) = 0- (0+ si b < 0)
Límite exponencial
Caso 1:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c (c≠0)
T) limx->af(x)g(x) = bc
Caso 2:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = 0
T) limx->af(x)g(x) = 1
Caso 3:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x)g(x) = +inf
Caso 4:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x)g(x) = 0
Límite de un polinomio
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Ejemplo: limx->1 x2 + 2x - 1 = 2Límite del cociente de polinomios
A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0
Ejemplo:
2x2 + x + 1 4
lim ----------- = -- = 2
x->1 x2 + 2x - 1 2
Límites tipo
lim (1 + 1/x)x = e
x->inf
Calculadora de Límites. Calcula un límite de una función con respecto a una variable en un punto dado. Los límites unilaterales y bilaterales están soportados. El punto en el que el límite se calcula puede ser especificado por un número o mediante una expresión simple. Ejemplo: % pi / 4 . El cálculo de límites positivos ( inf ), negativos ( minf ) e infinitos ( infinito ) complejos también está soportado.
Límites (una introducción)
Aproximarse
A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!
Usemos por ejemplo esta función:
(x2-1)/(x-1)
Y calculemos su valor para x=1:
(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0
¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos que encontrar otra manera de hacerlo.
En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:
x (x2-1)/(x-1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999
... ...
Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2
Ahora tenemos una situación interesante:
Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
Pero vemos que va a ser 2
Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones
El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2
Y con símbolos se escribe así:
Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"
En un gráfico queda así:
Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1.
Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.
https://youtu.be/yly9AB_2CxQ
Publicar un comentario