CALCULO PARA NO OLVIDAR: UNIDAD 2
CALCULO PARA NO OLVIDAR: UNIDAD 2 SERIES Y SUCESIONES
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
Qué es una sucesión?
Introducción al concepto de sucesión matemática. Se define una sucesión como una función cuyo dominio son los números enteros positivos. Se explica su diferencia con las funciones de variable real y se dan los primeros conceptos sobre convergencia y divergencia
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita
si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
En orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
- 10º término,
- 100º término, o
- n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
| n | Término | Prueba |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 2n = 2×1 = 2 |
| 2 | 5 | 2n = 2×2 = 4 |
| 3 | 7 | 2n = 2×3 = 6 |
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
| n | Término | Regla |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 2n+1 = 2×1 + 1 = 3 |
| 2 | 5 | 2n+1 = 2×2 + 1 = 5 |
| 3 | 7 | 2n+1 = 2×3 + 1 = 7 |
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
Posición del término | |
Es normal usar xn para los términos:
| |
| Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5 |
Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:
xn = 2n+1
Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:
Tipos de sucesiones
Sucesiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
Ejemplos
| 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... |
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
La regla es xn = 3n-2
| 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ... |
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
La regla es xn = 5n-2
Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.
Ejemplos:
| 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... |
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
La regla es xn = 2n
| 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ... |
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n
La regla es xn = 3n
| 4, 2, 1, 0.5, 0.25, ... |
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n
La regla es xn = 4 × 2-n
Sucesiones especiales
Números triangulares
| 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... |
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla
xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
- El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
- y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados
| 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ... |
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
La regla es xn = n2
Números cúbicos
| 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ... |
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn = n3
Números de Fibonacci
| 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... |
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es xn = xn-1 + xn-2
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
Series
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
 | |
| Esto significa "suma de 1 a 4" = 10 | |
EJERCICIOS PROPUESTOS
Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones
1an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
2an = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n
3an = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
4an= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n
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4 comentarios:
Sucesiones
Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.
a1, a2, a3 ,..., an
Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
Determinación de una sucesión
Por el término general
an= 2n-1
Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Operaciones con sucesiones
Dadas las sucesiones an y bn:
an= a1, a2, a3, ..., an
bn= b1, b2, b3, ..., bn
Suma con sucesiones:
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)
Propiedades
1 Asociativa:
(an + bn) + cn = an + (bn + c n)
2 Conmutativa:
an + bn = bn + a n
3 Elemento neutro
(0) = (0, 0, 0, ..)
an + 0 = an
4 Sucesión opuesta
(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)
an + (-an) = 0
Diferencia con sucesiones:
(an) - (bn) = (an - bn)
(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)
Producto con sucesiones:
(an) · (bn) = (an · bn)
(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)
Propiedades
1 Asociativa:
(an · bn) · c n = an · (bn · c n)
2 Conmutativa:
an · bn = bn · a n
3 Elemento neutro
(1) = (1, 1, 1, ..)
an · 1 = an
4 Distributiva respecto a la suma
an · (bn + c n) = an · bn + an · c n
Sucesión inversible
Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa es:
Inversible
Cociente
Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.
Cociente
Límite de una sucesión
Es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión
Sucesiones convergentes
Son las que tienen límite.
Sucesiones divergentes
Son las sucesiones que no tienen límite finito.
Tipos de sucesiones
Sucesiones monótonas
monotonía
Sucesiones estrictamente crecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 > an
Sucesiones crecientes
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 ≥ an
Sucesiones estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.
an+1 < an
Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
an+1 ≤ an
Sucesiones constantes
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.
an = an+1
Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.
Sucesiones acotadas superiormente
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.
an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.
Sucesiones acotadas
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K'
Término general de una sucesión
1. Comprobar si es una progresión aritmética.
2. Comprobar si es una progresión geométrica.
3. Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.
También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos.
4. Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.
Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (-1)n.
Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (-1)n-1.
5. Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).
Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.
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